peluang

PELUANG
KAIDAH PENCACAHAN

Aturan Perkalian
Dari A ke B ada 4 jalan dan dari B ke C ada 3 jalan.Bagaimana cara mendaftar semua pilihan jalan yang dapat ditempuh dari A menuju C melalui B?

Jawab :
Menggunakan aturan perkalian, maka banyak cara adalah 4 x 3 = 12 cara.
Berdasarkan soal diatas, secara umum aturan perkalian dapat dituliskan sebagai berikut :
Jika kejadian pertama dapat terjadi sebanyak n1 cara berbeda, kejadian kedua sebanyak n2 cara berbeda, kejadian ketiga sebanyak n3 cara berbeda, sampai seterusnya sampai kejadian ke k mempunyai nk cara berbeda, maka gabungan dari semua kejadian itu dapat terjadi dalam n1 x n2 x n3 x...x nk cara berbeda.
Definisi dan Notasi Faktorial
4 x 3 x 2 x 1 dapat dinotasikan sebagai 4! (dibaca 4 faktorial).Secara umum hasil kali bilangan asli dari satu sampai dengan n ditulis dengan notasi n! (n faktorial).
Definisi :
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x...x (n-2) x (n-1) x n atau
n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x (n-4) x (n-5) x...x 3 x 2 x 1
Cntoh Soal :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Hitunglah n, jika

Sederhanakan dulu bentuk faktorialnya :



n = -2 atau n = 3, karena n bilangan positif, maka n = 3
Permutasi
Permutasi merupakan permasalahan mencari banyak cara menyusun.Suatu himpunan H beranggotakan n unsur.Permutasi r unsur dari himpunan H adalah banyaknya cara menyusun r unsur anggota H.Seperti, menentukan banyaknya susunan 4 orang yang mungkin dari 10 orang calon dan dilambangkan

Contoh Soal :
Pada kelas XI IPA 5 / gammabunta, dari 10 orang disusun 4 orang untuk dijadikan ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara.Banyaknya cara memilih :


Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda.Permasalahnnya adalah menentukan banyak susunan 3 angka dari 7 angka yang tersedia atau permutasi 3 dari 7 angka, yaitu

Angka ratusan ada 6 cara (tidak mungkin 0)
Angka puluhan ada 6 cara (termasuk dengan 0)
Angka satuan ada 5 cara (karena 2 angka sudah dipakai pada angka ratusan dan puluhan)
Jadi banyaknya cara menyusun adalah 6 x 6 x 5 = 180 cara
Kesimpulan :
Rumus permutasi r unsur :

Dengan n dan r bilangan bulat positif , serta 0 ≤ r ≤ n
Permutasi dengan unsur sama
Dari huruf-huruf yang menyusun kata MAKASSAR disusun kata-kata yang lain.Dari kata MAKASSAR diperoleh huruf-huruf yang sama :
Huruf A sebanyak : k1 = 3
Huruf S sebanyak : k2 = 2
Banyak huruf seluruhnya : n = 8
Banyak susunan huruf yang mungkin adalah :

Permutasi siklis
Banyaknya susunan berbeda dari unsur-unsur yang membentuk lingkaran disebut permutasi siklis.Rumusnya P = (n-1)!
Kombinasi
Suatu himpunan H beranggotakan n unsur.Kombinasi n unsur dari H adalah banyaknya cara memilih n anggota H.Rumus kombinasi :

Contoh soal :
Seorang petani membeli 2 sapi, 3 kambing, dan 5 ayam dari seorang pedagang yang mempunyai 4 sapi, 5 kambing, dan 8 ayam.Dengan berapa cara petani tersebut dapat memilih sapi , ayam, dan kambing?
Jawab :
Banyak cara memilih 2 sapi dari 4 sapi :

Banyak cara memilih 3 kambing dari 5 kambing :

Banyak cara memilih 5 ayam dari 8 ayam :

Banyak cara petani memilih sapi, kambing, dan ayam = 6 x 10 x 56 = 3360 cara
KESIMPULAN (PERBEDAAN ANTARA KOMBINASI DAN PERMUTASI) :
Permutasi menentukan banyaknya cara menyusun, berarti urutannya diperhatikan.Misalnya menyusun angka menjadi bilangan merupakan permasalahan permutasi, karena 21 berbeda dengan 12. (diperhitungkan)
Kombinasi menentukan banyaknya cara memilih, berarti urutannya tidak diperhatikan.Misalnya dalam mencampuri warna, campuran merah-kuning sama dengan campuran kuning-merah.